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二分图的一些概念

发布时间:2019-07-27 03:03 来源:未知 编辑:admin

  ,并且图G的任意边xy关联的两个结点 x、y分别属于这两个子集,则图G是二分图。

  所有的树都是二分图。从树中任取一个结点为树根,着上白色,然后将根的所有孩子着上黑色,将下一层再着白色,继续此过程直到所有结点都着色。

  偶数个结点的圈是二分图,而奇数个结点的圈不是二分图。所以如果图中含有奇圈,就不是二分图。其实这是一个定理:图G是二分图当且仅当图G不含奇圈。

  设二分图G两个子集合为V1和V2,若两个集合的基数(元素的个数)不等,设V1的基数较大。则若V1= V2,则称G是平衡的。若V1- V2= 1,则称G是准平衡的。则若V1- V2≥2,则称G是偏斜的。

  图的匹配M是由一些边组成的集合,其中任何两条边都不关联(没有公共端点)。

  设X、Y是二分图G的两个部分。若X中每个结点都关联于匹配M中的一条边,那我们称M是从X到Y的一个完全匹配。此时,M未必是从Y到X的一个完全匹配。若M同时是从X到Y和从Y到X的完全匹配,则M称为一个完美匹配,这意味着X=y。从X到Y的完全匹配仅要求X≤Y。

  若匹配M在图G的所有匹配中基数最大,M就是最大匹配。若不存在更大的匹配M包含M,我们就称M是一个极大匹配。注意,极大匹配不一定是最大匹配,而最大匹配一定是极大匹配。

  设M是图G的一个匹配,图G的M-交错路是由在M中的边和不在M中的边交替出现构成的。若结点v与M中的某条边相关联,就称v为M-匹配的。否则,称v为M-不匹配的。M-增广路是指连接两个M-不匹配结点的交错路。 M-增广路开始并终止于不在M中的边。

  对于结点v,我们用n(v)表示所有与v邻接的结点集。对于图G结点集的任意子集S,N(S)表示所有与S中的结点相邻接的结点集的并集,即N(S)=∪n(v)。

  Hall匹配定理的内容是:二分图G的两个部分为X、Y,若存在从X到Y的完全匹配当且仅当对任意S∈X,都有N(S)≥S。

  由Hall匹配定理,可以推出Hall婚配定理:二分图G的两个部分X、Y 满足X=Y时,图G存在完美匹配当且仅当对任意的子集S∈X,都有 N(S)≥S。

  最小点覆盖:假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边,你需要选择最少的点来覆盖所有的边。

  写在之前:更多二分图知识,请关注---gt;二分图知识导航篇 定义 二分图也称二部图,是图论里的一种特殊模型,也是一种特殊的网络流。其最大的特点在于,可以将图里的顶点分为两个集合,且集合内...博文来自:知行合一

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